Question

12．點P（x，y）在三角形ABC的邊界和內部運動，其中A（1，0），B（2，1），C（4，4），已知m＞0，n＞0．
（1）求z=2x-y的最小值M和最大值N；
（2）若m+n=M，求$\frac{4}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值，并求此時的m，n的值；
（3）若m+n+mn=N，求mn的最大值和m+n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意作出△ABC的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識求出z的最大值M與最小值N；
（2）利用基本不等式求出$\frac{4}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值以及對應的m、n的值；
（3）利用基本不等式m+n≥2$\sqrt{mn}$和mn≤${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$，即可求出mn的最大值與m+n的最小值．

解答 解：（1）由題意作出△ABC的平面區(qū)域，如圖所示；
將z=2x-y化為y=2x-z，-z相當于直線y=2x-z的縱截距，
則由幾何意義可得，
在點C處取得最大值N=2×4-4=4，
點A處取得最小值M=2×1-0=2．
（2）∵m＞0，n＞0，m+n=2，
∴$\frac{4}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{2（m+n）}{m}$+$\frac{9（m+n）}{2n}$
=$\frac{2n}{m}$+$\frac{9m}{2n}$+$\frac{13}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{9m}{2n}}$+$\frac{13}{2}$=$\frac{25}{2}$，
當且僅當2n=3m時“=”成立，
∴$\frac{4}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值是$\frac{25}{2}$，此時m=$\frac{4}{5}$，n=$\frac{6}{5}$；
（3）當m+n+mn=4時，m+n≥2$\sqrt{mn}$，
∴2$\sqrt{mn}$+mn≤4，
解得-1-$\sqrt{5}$≤$\sqrt{mn}$≤-1+$\sqrt{5}$，
∴mn≤${（-1+\sqrt{5}）}^{2}$=6-2$\sqrt{5}$，
即mn的最大值是6-2$\sqrt{5}$；
又mn≤${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$，
∴（m+n）+${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$≥4，
解得m+n≥2$\sqrt{5}$-2或m+n≤-2$\sqrt{5}$-2（不合題意，舍去），
∴m+n的最小值是2$\sqrt{5}$-2．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的應用問題，也考查了基本不等式的靈活應用問題，是綜合性題目．