Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|+|BN|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，MN的中點(diǎn)為D，連接DF₁，DF₂，根據(jù)橢圓的定義知：|DF₁|+|DF₂|=4，并且容易說明|DF1|=

1

2

|AN|，|DF2|=

1

2

|BN|，所以這樣即可求得|AN|+|BN|．

解答： 解：設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，線段MN的中點(diǎn)為D，如圖所示，連接DF₁，DF₂：
由已知條件知：DF₁是△MAN的中位線，DF₂是△MBN的中位線；
∴|DF1|=

1

2

|AN|，|DF2|=

1

2

|BN|，且根據(jù)橢圓的定義知|DF₁|+|DF₂|=4；
∴|AN|+|BN|=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評：考查橢圓的定義：|PF₁|+|PF₂|=2a，（a＞0），及標(biāo)準(zhǔn)方程，三角形的中位線．