Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrowehekuuk$及實數(shù)x，y滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（x²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrowhmcumyt$=-y•$\overrightarrow{a}$+x•$\overrightarrow$，若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrowzjamx70$，且|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）及其定義域；
（2）若當(dāng)x∈（1，$\sqrt{6}$）時，不等式f（x）≥mx+16恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{c}•\overrightarrow2g3z2ys$=0整理得出f（x）的解析式，由|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$列出不等式求出定義域；
（2）分別作出y=f（x）和y=mx+16的函數(shù)圖象．根據(jù)圖象關(guān)系得出m的范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，∵$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrownksq9vs$，∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrownr6obq0$=0，∴[$\overrightarrow{a}$+（x²-3）$\overrightarrow$]•（-y•$\overrightarrow{a}$+x•$\overrightarrow$）=0，即-y$\overrightarrow{a}$²+x（x²-3）$\overrightarrow$²=0，
∵${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$=1，∴y=x（x²-3）=x³-3x．
∵|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$，∴[$\overrightarrow{a}$+（x²-3）$\overrightarrow$]²=1+（x²-3）²≤10，解得-$\sqrt{6}$≤x≤$\sqrt{6}$．
∴f（x）=x³-3x．定義域是[-$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$]．
（2）f′（x）=3x²-3，∵x∈（1，$\sqrt{6}$），∴f′（x）＞0，∴f（x）在（1，$\sqrt{6}$）上是增函數(shù)，
作出f（x）在（1，$\sqrt{6}$）上的函數(shù)圖象如下：
令g（x）=mx+16，由圖象可知當(dāng)g（x）經(jīng)過A（1，-2）時m取得最大值-18，
∴m≤-18．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，函數(shù)恒成立問題，借助函數(shù)圖象可快速找到符合條件的m．