Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

lnx+ax²，（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（

1

2

，f（

1

2

））處的切線與直線x+2y-2=0垂直，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)x₀∈（1，2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，再利用極值點(diǎn)x₀∈（1，2），即可得出．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

2x

+2ax．（x＞0）．∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（

1

2

，f（

1

2

））處的切線與直線x+2y-2=0垂直，
∴切線的斜率k=2，∴f′(

1

2

)=1+a=2，解得a=1，
∴a=1；
（2）∵f′(x)=

1

2x

+2ax=

1+4ax2

2x

，x∈(0，+∞)．
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無極值，不合題意；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，即1+4ax²=0，
∵x∈（0，+∞），故x=

- 1 4a

，
∴x∈(0，

- 1 4a

)時(shí)，f′（x）＞0；x∈(

- 1 4a

，+∞)時(shí)，f′（x）＜0．
故x0=

- 1 4a

是f（x）的極大值點(diǎn)；
依題意：1＜

- 1 4a

＜2，
解得：-

1

4

＜a＜-

1

16

，
綜上所述，a的取值范圍為(-

1

4

，-

1

16

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．