Question

在△ABC中（如圖1），已知AC=BC=2，∠ACB=120°，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，EF交CD于G，把△ADC沿CD折成如圖2所示的三棱錐C-A₁BD．
（1）求證：E₁F∥平面A₁BD；
（2）若二面角A₁-CD-B為直二面角，求直線A₁F與平面BCD所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知E₁F為A₁BC的中位線，由此能證明E₁F∥平面A₁BD．
（2）連結(jié)DF，則A₁D⊥BD，A₁D⊥CD，從而A₁D⊥平面BDC，∠A₁FD為直線A₁F與平面BCD所成的角，由此能求出直線A₁F與平面BCD所成的角．

解答： （1）證明：E₁，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，
則E₁F為A₁BC的中位線，
故E₁F∥A₁B
因?yàn)锳₁B?面A₁BD，E₁F?平面A₁BD，
所以E₁F∥平面A₁BD．

（2）連結(jié)DF，∵二面角A₁-CD-B為直二面角，
∴A₁D⊥BD，
又∵AC=BC且D為AB的中點(diǎn)，∴A₁D⊥CD，
得A₁D⊥平面BDC，
故∠A₁FD為直線A₁F與平面BCD所成的角 
在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，
得CD=1，CF=1，∠DCF=60°
∴△CDF為等邊三角形，
故DF=1，
則tan∠A1FD=

A1D

DF

=

3

1

=

3

得∠A₁FD=60°．
故直線A₁F與平面BCD所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．