Question

（2009•金山區(qū)一模）已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B （1，0），點(diǎn)P（x+1，y）在x軸的下方，設(shè)a=

PA

•

PB

，b=

AP

•

AB

，c=

BP

•

BA

，d=|

AB

|，且

.

a b c d

.

=0．
（1）求a、b、c關(guān)于x、y的表達(dá)式；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），并求當(dāng)y取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)?span id="yux7dvj" class="MathJye">

PA

=（-x-2，-y），

PB

=（-x，-y），

AP

=（x+2，y），

AB

=（2，0），

BP

=（x，y），

BA

=（-2，0），由此能求出a、b、c關(guān)于x、y的表達(dá)式．
（2）因?yàn)?span id="gpo2wr7" class="MathJye">

.

a b c d

.

=0，所以3x²+y²+6x=0，由于點(diǎn)P（x+1，y）在x軸的下方，所以y=-

-3x2-6x

，（-2＜x＜0），y=-

-3x2-6x

=-

-3(x+1)2+3

，（-2＜x＜0）．由此能求出當(dāng)y取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="hsnxras" class="MathJye">

PA

=（-x-2，-y），

PB

=（-x，-y），
所以a=

PA

•

PB

=x²+y²+2x，…（2分）

AP

=（x+2，y），

AB

=（2，0），b=

AP

•

AB

=2x+4，…（3分）

BP

=（x，y），

BA

=（-2，0），c=

BP

•

BA

=-2x，…（4分）
d=|

AB

|=2，…（5分）
（2）因?yàn)?span id="hhcdaf7" class="MathJye">

.

a b c d

.

=0，所以2（x²+y²+2x）-（2x+4）（-2x）=0，即：3x²+y²+6x=0，…（7分）
由于點(diǎn)P（x+1，y）在x軸的下方，所以y=-

-3x2-6x

，（-2＜x＜0）
y=-

-3x2-6x

=-

-3(x+1)2+3

，（-2＜x＜0）…（10分）
所以當(dāng)x=-1時(shí)，y_min=-

3

，此時(shí)P（0，-

3

）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣現(xiàn)向量乘法的意義和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量的數(shù)量積公式的靈活運(yùn)用．