Question

11．已知復數α滿足（2-i）α=3-4i，β=m-i，m∈R．
（1）若|α+β|＜2|$\overline{α}$|，求實數m的取值范圍；
（2）若α+β是關于x的方程x²-nx+13=0（n∈R）的一個根，求實數m與n的值．

Answer 1

分析 （1）根據復數的混合運算和復數模的即可求出；
（2）根據韋達定理即可求出．

解答 解：（1）∵（2-i）α=3-4i，
∴a=$\frac{3-4i}{2-i}$=2-i，
∴α+β=2+m-2i，
∵|α+β|＜2|$\overline{α}$|，
∴（2+m）²+4＜4（4+1），
解得-6＜m＜2，
∴m的取值范圍為（-6，2），
（2）α+β是關于x的方程x²-nx+13=0（n∈R）的一個根，
則2+m+2i也是方程的另一個根，
根據韋達定理可得$\left\{\begin{array}{l}{（2+m-2i）（2+m+2i）=13}\\{（2+m-2i）+（2+m+2i）=n}\end{array}\right.$，
解的$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=-6}\end{array}\right.$

點評 本題考查了復數的運算以及方程的解的問題，以及復數模的計算，屬于基礎題．