Question

13．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，前n項(xiàng)和為S_n，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的公比為q，已知a₁=3，b₁=1，且b₂+S₂=12，a₃=b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將b₂+S₂=12、a₃=b₃用公差、公比表示出來，聯(lián)立方程組計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{q+3+3+d=12}\\{3+2d={q}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{q=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=11}\\{q=-5}\end{array}\right.$（舍），
∴a_n=3+3（n-1）=3n，
b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2}{3}$•$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．