Question

設函數(shù)f（x）=

1

a

xⁿ-（-1）^klnx（a≥1，k∈N^*）．
（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性
（2）當a=2時，k為奇數(shù)時，設b_n=f′（n）-n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，試比較S₁₀₀-1，S₉₉，2ln10的大�。�

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）把a=1代入f（x）=

1

a

x^a-（-1）^klnx，求出函數(shù)的定義域，然后求導數(shù)，分k為奇數(shù)和k為偶數(shù)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=2時，b_n=f′（n）-n=

1

n

，Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．由（1）得：當a=1，k為偶數(shù)，x＞1時，f（x）＞f（1），即x-lnx＞1，∴x-1＞lnx，轉(zhuǎn)化為當x＞0時，有l(wèi)n（1+x）＜x，取x=

1

n

得ln（1+

1

n

）＜

1

n

，由

n

k=1

ln(1+

1

k

)＜

n

k=1

1

k

證得S₉₉＞2ln10；令g（x）=lnx+

1

x

-1（x＞1），得到g（x）=lnx+

1

x

-1在（1，+∞）上單調(diào)遞增．則g（x）＞g（1）=0，則ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，由此證得S₁₀₀-1＜2ln10．

解答： 解：（1）f（x）=

1

a

x^a-（-1）^klnx的定義域為（0，+∞），
當a=1時，f′(x)=1-(-1)k•

1

x

．
①當k為奇數(shù)時，f′(x)=1+

1

x

＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
②當k為偶數(shù)時，f′(x)=1-

1

x

，
若x＞1，則f′(x)=1-

1

x

＞0，f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
若0＜x＜1，則f′(x)=1-

1

x

＜0，f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

（2）當a=2時，b_n=f′（n）-n=

1

n

，Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
由（1）得：當a=1，k為偶數(shù)，x＞1時，f（x）＞f（1），即x-lnx＞1，∴x-1＞lnx，
當x＞0時，有l(wèi)n（1+x）＜x，∴l(xiāng)n（1+

1

n

）＜

1

n

，n∈N^*，

n

k=1

ln(1+

1

k

)＜

n

k=1

1

k

，
∴S99=

99

k=1

1

k

＞

99

k=1

ln(

k+1

k

)=ln100=2ln10．
令g（x）=lnx+

1

x

-1（x＞1），
∵x＞1，∴g′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0，則g（x）=lnx+

1

x

-1在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
g（x）＞g（1）=0．
∴l(xiāng)nx＞1-

1

x

，則ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，n∈N^*．
∴

99

k=1

1

k+1

＜

99

k=1

(1+

1

k

)=2ln10．
∴S₁₀₀-1＜2ln10．
綜上，S₁₀₀-1＜2ln10＜S₉₉．

點評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了數(shù)列不等式的證明方法，屬難題．