Question

11．如圖所示是畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4095個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則最小正方形的邊長為$\frac{1}{64}$．

Answer 1

分析 正方形的邊長構(gòu)成以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公比的等比數(shù)列，利用共得到4095個(gè)正方形，借助于求和公式，可求得正方形邊長變化的次數(shù)，從而利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求最小正方形的邊長．

解答 解：由題意，正方形的邊長構(gòu)成以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公比的等比數(shù)列，
現(xiàn)已知共得到4095個(gè)正方形，則有
1+2+…+2^n-1=4095，
∴n=12，
∴最小正方形的邊長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^12-1=$\frac{1}{64}$，
故答案為：$\frac{1}{64}$

點(diǎn)評 本題以圖形為載體，考查等比數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)，關(guān)鍵是的出等比數(shù)列模型，正確利用相應(yīng)的公式．