Question

16．設(shè)直線l：y=k（x+1）與橢圓x²+4y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）證明：a²＞$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，求△OAB的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程．

Answer 1

分析 （I）依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，y=k（x+1）可化為x=$\frac{y}{k}$-1，代入橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0，即可得證；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，運(yùn)用三角形的面積公式，由不等式的性質(zhì)可得S=$\frac{1}{2}$|OC|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$|y₂|=$\frac{3|k|}{{1+4{k^2}}}≤\frac{3|k|}{4|k|}=\frac{3}{4}$，再議等號(hào)成立的條件，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：（I）證明：依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，
故y=k（x+1）可化為x=$\frac{y}{k}$-1，
將x=$\frac{y}{k}$-1代入x²+4y²=a²，得（$\frac{1}{{k}^{2}}$+4）y²-$\frac{2}{k}$y+1-a²=0，①
由直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，
得△=$\frac{4}{{k}^{2}}$-4（$\frac{1}{{k}^{2}}$+4）（1-a²）＞0，
整理得（$\frac{1}{{k}^{2}}$+4）a²＞4，
即a²＞$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①，得y₁+y₂=$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，即y₁=-2y₂，代入上式，得y₂=-$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$，
于是，△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|OC|•|y₁-y₂|
=$\frac{3}{2}$|y₂|=$\frac{3|k|}{{1+4{k^2}}}≤\frac{3|k|}{4|k|}=\frac{3}{4}$，
其中，上式取等號(hào)的條件是4k²=1 即k=$±\frac{1}{2}$時(shí)，
由${y_2}=\frac{-2k}{{1+4{k^2}}}$，可得y₂=$±\frac{1}{2}$，
將k=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$及 k=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，
這兩組值分別代入①，均可解出a²=5．
所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是x²+3y²=5．

點(diǎn)評 本題考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式大于0，考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．