Question

5．已知x，y，z不同時為0，求$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 把要求的式子化為$\frac{xy+yz}{（{x}^{2}+\frac{1}{2}{y}^{2}）+（\frac{1}{2}{y}^{2}+{z}^{2}）}$，利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：要求最大值，可設(shè)x，y，z＞0．
∵x²+$\frac{1}{2}$y²≥2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$xy，
$\frac{1}{2}$y²+z²≥2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$yz，
∴$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\frac{xy+yz}{（{x}^{2}+\frac{1}{2}{y}^{2}）+（\frac{1}{2}{y}^{2}+{z}^{2}）}$≤$\frac{xy+yz}{\sqrt{2}xy+\sqrt{2}yz}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y時，等號成立，
故所求最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．