Question

14．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π，x∈R）的最大值為2，且其圖象經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{3}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤-1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最大值求出A=2，結(jié)合定點(diǎn)坐標(biāo)即可求f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤-1，解三角函數(shù)不等式即可求x的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為2，則A=2，
∵圖象經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{3}$）．
∴2sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\sqrt{3}$，
即sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜φ＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜φ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
則φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得φ=$\frac{π}{3}$，
即f（x）的解析式為f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）；
（2）若f（x）≤-1，
則2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-1；
即sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-$\frac{1}{2}$；
即2kπ+$\frac{7π}{6}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
解得2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z
即x的取值范圍是2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，以及三角函數(shù)不等式的求解，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．