Question

16．在數(shù)列{a_n}中，S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）若b_n=a_n+1-2a_n，利用數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義，利用構(gòu)造法即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列．

解答 證明：（1）∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．
∴S_n+1=4a_n+1．兩式作差得：
S_n+1-S_n=4a_n+1-4a_n-1-1=4a_n-4a_n-1．
故a_n+1=4a_n-4a_n-1．
即a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1），
即b_n=2b_n-1，n≥2，
則數(shù)列{b_n}是公比q=2的等比數(shù)列；
（2）由（1）知數(shù)列{a_n+1-2a_n}是公比q=2的等比數(shù)列；
∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．
∴S₂=4a₁+1=4+1=5，
即1+a₂=5，解得a₂=5-1=4．
則a₂-2a₁=4-2=2，
即數(shù)列{a_n+1-2a_n}的首項為2，則a_n+1-2a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
若c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
則當(dāng)n≥2時，c_n-c_n-1=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$為常數(shù)，
即數(shù)列{c_n}是公差d=$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列．

點評 本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，利用數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)行變形是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力．