Question

19．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C：x²-y²=λ（λ為正常數(shù)）上，過點(diǎn)M作雙曲線C的某一條漸近線的垂線，垂足為N，則|ON|•|MN|的值為（　　）

• A． $\frac{λ}{4}$
• B． $\frac{λ}{2}$
• C． λ
• D． 無法確定

Answer 1

分析 設(shè)M（m，n），即有m²-n²=λ，求出雙曲線的漸近線為y=±x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理可得|ON|，化簡整理計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)M（m，n），即有m²-n²=λ，
雙曲線的漸近線為y=±x，
可得|MN|=$\frac{|m-n|}{\sqrt{2}}$，
由勾股定理可得|ON|=$\sqrt{|OM{|}^{2}-|MN{|}^{2}}$
=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}-\frac{（m-n）^{2}}{2}}$=$\frac{|m+n|}{\sqrt{2}}$，
可得|ON|•|MN|=$\frac{|m+n|}{\sqrt{2}}$•$\frac{|m-n|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|{m}^{2}-{n}^{2}|}{2}$=$\frac{λ}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程的運(yùn)用，注意點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．