Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²（x-a），則不等式$\frac{f（x）}{x}$+lnx+1≥0對任意的x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，4-8ln2]
• B． （-∞，$\frac{17}{4}$-8ln2]
• C． （-∞，4+8ln2]
• D． （-∞，$\frac{17}{4}$+8ln2]

Answer 1

分析 運用參數(shù)分離，可得a≤（x+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{x}$）_min，對任意的x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）恒成立，令g（x）=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{x}$，x$≥\frac{1}{4}$，求出導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，通過最小值判斷g（x）的導(dǎo)數(shù)大于0，進而得到g（x）的最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：不等式$\frac{f（x）}{x}$+lnx+1≥0對任意的x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）恒成立，即為
x（x-a）+lnx+1≥0對任意的x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）恒成立，
即a≤（x+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{x}$）_min，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{x}$，x$≥\frac{1}{4}$，
則g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x²-lnx，x$≥\frac{1}{4}$，
h′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，當(dāng)$\frac{1}{4}$$≤x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$時，h′（x）＜0，h（x）遞減；
當(dāng)x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，h′（x）＞0，h（x）遞增．
即有x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$處h（x）取得最小值，且為$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
則h（x）＞0在x$≥\frac{1}{4}$恒成立，即有g(shù)′（x）＞0，
則g（x）在[$\frac{1}{4}$，+∞）遞增，
即有x=$\frac{1}{4}$處g（x）取得最小值且為$\frac{17}{4}$-8ln2．
則a≤$\frac{17}{4}$-8ln2．
故選：B．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和最值，同時考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，運用單調(diào)性求最值是解題的關(guān)鍵．