Question

1．經(jīng)過P（-2，3）作直線交拋物線y²=-8x于A，B兩點．
（1）若線段AB被P平分，求AB所在直線方程；
（2）當(dāng)直線的傾斜角為$\frac{π}{4}$時，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由題意可得直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB：x+2=m（y-3），代入拋物線方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，可得m，進而得到所求直線方程；
（2）求得直線AB的方程，代入拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到．

解答 解：（1）由題意可得直線AB的斜率存在，且不為0，
設(shè)直線AB：x+2=m（y-3），
代入拋物線方程可得，
y²+8my-8（3m+2）=0，
判別式為64m²+32（3m+2）＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有y₁+y₂=-8m，
由-8m=6，可得m=-$\frac{3}{4}$，
代入判別式大于0成立，
則所求直線AB的方程為4x+3y-1=0；
（2）由題意可得直線AB的方程為y-3=x+2，
即為y=x+5，
代入拋物線方程，可得x²+18x+25=0，
即有x₁+x₂=-18，x₁x₂=25，
則|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-18）^{2}-100}$=8$\sqrt{7}$．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線方程和直線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．