Question

5．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x，其中a為非零實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)α，β，且α＜β，求證：$\frac{f（β）}{α}$＜$\frac{1}{2}$．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）確定α+β=0，αβ=a-1.$\frac{f（β）}{α}=\frac{{aln（{β+1}）+\frac{1}{2}{β^2}-β}}{-β}=\frac{{（{β^2}-1）ln（{β+1}）}}{β}-\frac{1}{2}β+1$．構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x+1}+x-1=\frac{{{x^2}+（a-1）}}{x+1}，x＞-1$．
當(dāng)a-1≥0時(shí)，即a≥1時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）=0得，${x_1}=-\sqrt{1-a}，{x_2}=\sqrt{1-a}$，
故f（x）在$（{-1，-\sqrt{1-a}}）$上單調(diào)遞增，在$（{-\sqrt{1-a}，\sqrt{1-a}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\sqrt{1-a}，+∞}）$上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0得，${x_0}=\sqrt{1-a}$，
f（x）在$（{-1，\sqrt{1-a}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\sqrt{1-a}，+∞}）$上單調(diào)遞增．
證明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且$α=-\sqrt{1-a}，β=\sqrt{1-a}$，
所以α+β=0，αβ=a-1．
$\frac{f（β）}{α}=\frac{{aln（{β+1}）+\frac{1}{2}{β^2}-β}}{-β}=\frac{{（{β^2}-1）ln（{β+1}）}}{β}-\frac{1}{2}β+1$．
由0＜a＜1得，0＜β＜1．
構(gòu)造函數(shù)$g（x）=\frac{{（{{x^2}-1}）ln（{x+1}）}}{x}-\frac{1}{2}x+1，x∈（{0，1}）$．
$g'（x）=（{1+\frac{1}{x^2}}）ln（{x+1}）-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}=\frac{{2（{x^2}+1）ln（x+1）-2x+{x^2}}}{{2{x^2}}}$，
設(shè)h（x）=2（x²+1）ln（x+1）-2x+x²，x∈（0，1），
則$h'（x）=\frac{{4{x^2}}}{x+1}+4xln（x+1）$，
因?yàn)?＜x＜1，
所以，h'（x）＞0，
故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以$g（x）＜g（1）=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
故$\frac{f（β）}{α}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的構(gòu)造與運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性．