Question

11．求證：函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$，x∈（-∞，0）是增函數(shù)．

Answer 1

分析 利用取值、作差、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論這五步進(jìn)行證明，主要利用通分和提取公因式進(jìn)行變形．

解答 設(shè)任意的x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）•$\frac{{{x}_{1}x}_{2}+1}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁＜0，x₂＜0，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法和導(dǎo)數(shù)法是解決函數(shù)單調(diào)性的基本方法．要求熟練掌握常見(jiàn)證明函數(shù)單調(diào)性的方法．屬于基礎(chǔ)題．