Question

2．已知{a_n}是一個(gè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且滿足a₂a₄=21，a₁+a₅=10，數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題知d＞0．
由2a₃=a₁+a₅=10，又可得a₃=5．
由a₂a₄=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=2．
∴a₁=a₃-2d=1．可得a_n=2n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=\frac{2n-1}{2^n}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，①
∴$\frac{1}{2}{T_n}$=$\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②得，$\frac{1}{2}{T_n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+…+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$
=$\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}$，
∴T_n=$3-\frac{2n+3}{2^n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．