【題目】設(shè)n 為不小于3的正整數(shù),集合,對于集合中的任意元素,記
(Ⅰ)當時,若,請寫出滿足的所有元素
(Ⅱ)設(shè)且,求的最大值和最小值;
(Ⅲ)設(shè)S是的子集,且滿足:對于S中的任意兩個不同元素,有成立,求集合S中元素個數(shù)的最大值.
【答案】(1); (2)的最大值為,當為偶數(shù)時,的最小值為,當為奇數(shù)時,; (3)中的元素個數(shù)最大值為.
【解析】
(Ⅰ)結(jié)合題意列舉可得;(Ⅱ)先根據(jù),得到的關(guān)系式,再求解的最值;(Ⅲ)通過對集合的拆分,逐一求解.
(Ⅰ)滿足的元素為
(Ⅱ)記,,
注意到,所以,
所以
因為,所以
所以中有個量的值為1,個量的值為0.
顯然
,
當,時,
滿足,.所以的最大值為
又
注意到只有時,,否則
而中個量的值為1,個量的值為0
所以滿足這樣的元素至多有個,
當為偶數(shù)時,.
當時,滿足,且.
所以的最小值為
當為奇數(shù)時,且,這樣的元素至多有個,
所以.
當,時,滿足,.
所以的最小值為
綜上:的最大值為,當為偶數(shù)時,的最小值為,當為奇數(shù)時,.
(Ⅲ)中的元素個數(shù)最大值為
設(shè)集合是滿足條件的集合中元素個數(shù)最多的一個
記 ,
顯然
集合中元素個數(shù)不超過個,下面我們證明集合中元素個數(shù)不超過個
,則
則中至少存在兩個元素
,
因為,所以不能同時為
所以對中的一組數(shù)而言,
在集合中至多有一個元素滿足同時為
所以集合中元素個數(shù)不超過個
所以集合中的元素個數(shù)為至多為 .
記 ,則中共個元素,
對于任意的,,.
對,記其中,,
記,
顯然,,均有.
記,中的元素個數(shù)為,且滿足,,均有.
綜上所述,中的元素個數(shù)最大值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示,下列說法中正確的是______.
①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同;
②支出最高值與支出最低值的比是6:1;
③第三季度平均收入為50萬元;
④利潤最高的月份是2月份。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學(xué)生開展冰雪運動的培訓(xùn)活動,并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進行了考核.記表示學(xué)生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動的效果,在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機抽取了30名學(xué)生的考核成績,并作成如下莖葉圖:
(Ⅰ)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機選取1人,請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率;
(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取3人,設(shè)表示這3人中成績滿足的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù),規(guī)定當時培訓(xùn)有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動是否有效,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點為拋物線:的焦點,拋物線上的點滿足(為坐標原點),且.
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線:與拋物線交于不同的兩點,是否存在實數(shù)及定點,對任意實數(shù),都有?若存在,求出的值及點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一輛汽車從市出發(fā)沿海岸一條直公路以的速度向東勻速行駛,汽車開動時,在市南偏東方向距市且與海岸距離為的海上處有一快艇與汽車同時出發(fā),要把一份稿件送給這輛汽車的司機.
(1)快艇至少以多大的速度行駛才能把稿件送到司機手中?
(2)在(1)的條件下,求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè),經(jīng)過市場調(diào)查,生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元,每生產(chǎn)萬件,需另投入流動成本萬元,當年產(chǎn)量小于萬件時,(萬元);當年產(chǎn)量不小于7萬件時,(萬元).已知每件產(chǎn)品售價為6元,假若該同學(xué)生產(chǎn)的商品當年能全部售完.
(1)寫出年利潤(萬年)關(guān)于年產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)
(2)當年產(chǎn)量約為多少萬件時,該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?
(取).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最小正周期為,將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,再向下平移個單位長度,得到函數(shù)的圖像.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角中,角的對邊分別為,若,,求面積的最大值.
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