Question

7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為${F_1}（-\sqrt{3}，0）$，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A（1，$\frac{1}{2}$）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若一過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)B，C，求△ABC的面積最大值．

Answer 1

分析 （1）由左焦點(diǎn)為${F_1}（-\sqrt{3}，0）$，右頂點(diǎn)為D（2，0），得到橢圓的半長(zhǎng)軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上求得方程．
（2）當(dāng)BC垂直于x軸時(shí)，BC=2，S_△ABC=1；當(dāng)BC不垂直于x軸時(shí)，設(shè)該直線方程為y=kx，代入橢圓方程，求得B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)|BC|，再求原點(diǎn)到直線的距離，從而可得三角形面積模型，再用基本不等式求其最值．

解答 解：（1）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2，半焦距c=$\sqrt{3}$，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
（2）當(dāng)BC垂直于x軸時(shí)，BC=2，S_△ABC=1
當(dāng)BC不垂直于x軸時(shí)，設(shè)該直線方程為y=kx，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
解得B（$\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}，\frac{2k}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$），C（$-\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}，-\frac{2k}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$）
則|BC|=4$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，又點(diǎn)A到直線BC的距離d=$\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}|BC|•d=\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$
于是${S}_{△ABC}=\sqrt{\frac{4{k}^{2}-4k+1}{4{k}^{2}+1}}=\sqrt{1-\frac{4k}{4{k}^{2}+1}}$
要使△ABC面積的最大值，則k＜0
由$\frac{4k}{4{k}^{2}+1}≥-1$，得S_△ABC$≤\sqrt{2}$，其中，當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立
∴S_△ABC的最大值是$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，求三角形面積的最值，關(guān)鍵是構(gòu)建模型，利用基本不等式求解．