Question

12．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，長軸端點A與短軸端點B間的距離為$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P為橢圓C上一動點，求△PAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，利用a²=b²+c²，計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）只需求出位于直線AB下方且與橢圓相切的直線l的方程，利用兩點間距離公式、三角形面積公式計算即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，
又a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）∵k_AB=$\frac{1-0}{0-2}$=-$\frac{1}{2}$，直線AB方程為：y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴可設與AB平行的直線l為：y=-$\frac{1}{2}$x+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：x²-2bx+2b²-2=0，
令△=（-2b）²-4（2b²-2）=0，解得：b=±$\sqrt{2}$，
顯然當b=-$\sqrt{2}$時，直線l與橢圓的交點P與A、B組成的三角形的面積最大，
由已知|AB|=$\sqrt{5}$，
△PAB中AB邊上的高d=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{5}}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{2}+1$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．