Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（Ⅰ）若曲線上點處的切線過點，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)在上無零點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由導數(shù)幾何意義得切線斜率，再由點斜式得切線方程，代入點可解得，再根據(jù)函數(shù)導函數(shù)小于零，解得單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）先由題意得，恒成立，再變量分離轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值：的最大值，最后利用導數(shù)求函數(shù)，最大值，經(jīng)過二次求導可得在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，因此.

試題解析：（Ⅰ）因為，所以，

所以，又，所以，得，

由，得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．

（Ⅱ）因為當→時，，所以在區(qū)間內(nèi)恒成立不可能．　所以要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，只要對任意的，恒成立，即對，恒成立．

令，，則．

再令，，則 ，

所以在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以，

∴．

于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以，

所以要使恒成立，只要．

綜上，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，則實數(shù)的最小值為．