Question

3．禽流感是家禽養(yǎng)殖業(yè)的最大威脅，為檢驗(yàn)?zāi)撤N藥物預(yù)防禽流感的效果，取80只家禽進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，得到如表丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：（表中c，d，M，N表示丟失的數(shù)據(jù)）

	患病	未患病	總計(jì)
未服用藥	25	15	40
服用藥	c	d	40
總計(jì)	M	N	80

設(shè)從試驗(yàn)未服用藥的家禽中任取兩只，取到未患病家禽數(shù)為X；從試驗(yàn)中服用藥物的家禽中任取兩只，取到未患病家禽數(shù)為Y，工作人員曾計(jì)算過：X=2的概率是Y＜1的概率的$\frac{7}{3}$倍．
（1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)c，d，M，N的值；
（2）能否在犯錯(cuò)概率不超過0.005的前提下認(rèn)為該藥物預(yù)防禽流感有效？
（3）求X與Y的期望并比較大小，請(qǐng)解釋所得結(jié)論的實(shí)際意義．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)X=2的概率是Y＜1的概率的$\frac{7}{3}$倍，列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)c，d，M，N的值；
（2）求出K²，與臨界值比較，即可得出能在犯錯(cuò)概率不超過0.005的前提下認(rèn)為該藥物預(yù)防禽流感有效；
（3）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)．

解答 解：（1）∵X=2的概率是Y＜1的概率的$\frac{7}{3}$倍，
∴$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{7}{3}×\frac{{C}_{c}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$
∴c=10，d=30
∴M=35，N=45；
（2）K²=$\frac{80×（25×30-10×15）^{2}}{35×45×40×40}$≈11.42＞7.879，
∴能在犯錯(cuò)概率不超過0.005的前提下認(rèn)為該藥物預(yù)防禽流感有效？
（3）X，Y取值為0，1，2．則依題有：
P（X=0）=$\frac{{C}_{25}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{25}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{25}{52}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{7}{52}$

X	0	1	2
P	$\frac{5}{13}$	$\frac{25}{52}$	$\frac{7}{52}$

從而EX=0×$\frac{5}{13}$+1×$\frac{25}{52}$+2×$\frac{7}{52}$=$\frac{39}{52}$
P（Y=0）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{3}{52}$，P（Y=1）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{30}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，P（Y=2）=$\frac{{C}_{30}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{29}{52}$，

Y	0	1	2
P	$\frac{3}{52}$	$\frac{5}{13}$	$\frac{29}{52}$

從而EY=0×$\frac{3}{52}$+1×$\frac{5}{13}$+2×$\frac{29}{52}$=$\frac{39}{26}$．
也即EX＜EY，其實(shí)際含義即表明該藥物預(yù)防禽流感有效．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，利用條件建立隨機(jī)變量的分布列，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，