Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，記$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$．
（1）若BD=1，試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AD}$；
（2）若D是線段BC上任意一點(diǎn)，求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$≤0的概率．

Answer 1

分析 （1）利用向量的三角形法則將$\overrightarrow{AD}$用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$表示即可；
（2）設(shè)$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{BC}$，0≤λ≤1，將$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$分別利用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示，利用數(shù)量積公式得到關(guān)于λ的范圍，利用幾何概型求概率．

解答 解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC=5．…（1分）
（1）∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow$．…（4分）
（2）設(shè)$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{BC}$，0≤λ≤1，
則$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}+λ（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）=（1-λ）\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$．…（6分）
令$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=[（1-λ）\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow]•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$=$λ{(lán)\overrightarrow}^{2}-（1-λ）{\overrightarrow{a}}^{2}=25λ-9≤0$，
則$λ≤\frac{9}{25}$，…（10分）
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$≤0的概率為$\frac{9}{25}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的三角形法則的運(yùn)用以及與概率結(jié)合的數(shù)量積的計(jì)算；屬于中檔題．