Question

設(shè)向量

a

、

b

滿足：|

a

|=3，|

b

|=4，

a

•

b

=0．若以

a

、

b

、

a

-

b

的模為邊長構(gòu)成三角形，則該三角形的三邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為（　�。�

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、6個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：先根據(jù)題設(shè)條件判斷三角形為直角三角形，根據(jù)三邊長求得內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而看半徑為1的圓內(nèi)切于三角形時(shí)有三個(gè)公共點(diǎn)，對于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情況，進(jìn)而可得出答案．

解答： 解：由于|

a

|=3，|

b

|=4，

a

•

b

=0，
則以

a

、

b

、

a

-

b

的模為3，4，5的三角形構(gòu)成直角三角形．
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則運(yùn)用面積相等，可得，

1

2

×3×4=

1

2

r（3+4+5），解得，r=1．
進(jìn)而可知其內(nèi)切圓半徑為1，
∵對于半徑為1的圓有一個(gè)位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn)，
對于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情況，
但5個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查判斷能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．