Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量

m

=（cosA，sinA），向量

n

=（

2

-sinA，cosA），若|

m

+

n

|=2
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）若△ABC外接圓的半徑為2，b=2，求邊c的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，得到

m

+

n

=（cosA-sinA+

2

，cosA+sinA），然后，結(jié)合|

m

+

n

|=2，化簡(jiǎn)，得到sinA=cosA，
求解出A的值即可；
（2）結(jié)合正弦定理和余弦定理，直接構(gòu)造含有c的等式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）依題意：

m

+

n

=（cosA-sinA+

2

，cosA+sinA），
∵|

m

+

n

|=2
∴（cosA-sinA+

2

）²+（cosA+sinA）²=4，
化簡(jiǎn)得：
sinA=cosA，
∴tanA=1，
∵0＜A＜π，
故有A=

π

4

．…（6分）
（Ⅱ）依題意，在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=2R=4，
∴a=2

2

，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
化簡(jiǎn)得：c2-2

2

c-4=0，解得：
c=

2

+

6

（負(fù)值舍去）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了正弦定理和余弦定理、三角恒等變換公式等知識(shí)，屬于中檔題．