Question

8．實(shí)數(shù)x，y，k滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y+1≥0}\\{x≤k}\end{array}\right.$，z=x²+y²，若z的最大值為13，則k的值為2．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖；則k＞1，
則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
由圖象知，O到A的距離最大，
∵z=x²+y²的最大值為13，
∴O到A的距離最大為d=$\sqrt{13}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{y=k+1}\end{array}\right.$，
即A（k，k+1），
則OA=$\sqrt{{k}^{2}+（k+1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即2k²+2k+1=13，
即k²+k-6=0，解得k=2或k=-3（舍），
故k=2，
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃以及點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．