Question

13．在直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.（φ$為參數(shù)）．以o為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若將圓C向左平移一個單位，再經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲線C′，設(shè)M（x，y）為曲線C′上任一點，求x²-$\sqrt{3}$xy+2y²的最小值，并求相應(yīng)點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用sin²φ+cos²φ=1可把圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.（φ$為參數(shù)），化為直角坐標(biāo)方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）將圓C向左平移一個單位，得到圓的方程為x²+y²=4，經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲線C′的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，設(shè)M為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，代入x²-$\sqrt{3}$xy+2y²化簡整理，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.（φ$為參數(shù)），化為（x-1）²+y²=4，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²=2ρcosθ+3．
（Ⅱ）將圓C向左平移一個單位，得到圓的方程為x²+y²=4，
經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲線C′的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
設(shè)M為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，則${x}^{2}-\sqrt{3}xy+2{y}^{2}$=3+$2cos（2θ+\frac{π}{3}）$，
∴當(dāng)M為$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$或$（-1，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，x²-$\sqrt{3}$xy+2y²的最小值為1．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、圖象變換、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．