Question

1．已知x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-5≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$．
（1）求x²+y²的最大值和最小值；
（2）求z=$\frac{y-1}{x+1}$的取值范圍；
（3）求z=|x+2y-4|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-5≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$，畫出可行域：聯(lián)立分別解得B（7，9），同理解得A（3，1），C（1，3）．可得（x²+y²）_min=|OD|²，（x²+y²）_max=|OC|²．
（2）z=$\frac{y-1}{x+1}$表示可行域中的任意一點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)Q（-1，1）的連線的斜率，利用k_OC≤z≤k_OA，即可得出．
（3）設(shè)x+2y-4=t，則y=$-\frac{1}{2}x$+$\frac{1}{2}t$+2，把點(diǎn)A（3，1）、B（7，9）分別代入即可得出．

解答 解：（1）由x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x-y-5≤0}\\{x+y-4≥0}\end{array}\right.$，畫出可行域：
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，解得B（7，9），
同理解得A（3，1），C（1，3），可得線段AC的中點(diǎn)D（2，2）．
則（x²+y²）_min=|OD|²=2²+2²=8，
（x²+y²）_max=|OC|²=7²+9²=130．
（2）z=$\frac{y-1}{x+1}$表示可行域中的任意一點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)Q（-1，1）的連線的斜率，因此k_OC≤z≤k_OA，
k_OC=3，k_OA=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}≤z≤3$．
∴z=$\frac{y-1}{x+1}$的取值范圍是$[\frac{1}{3}，3]$．
（3）設(shè)x+2y-4=t，
則y=$-\frac{1}{2}x$+$\frac{1}{2}t$+2，
把點(diǎn)A（3，1）代入可得：t=1；
把點(diǎn)B（7，9）代入可得：t=21．
∴1≤t≤21，
∴1≤|t|≤21，
∴z∈[1，21]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃有關(guān)知識(shí)、斜率計(jì)算公式、截距的意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．