Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x²，若對(duì)區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)p，q，不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：依題意知，f′（x+1）=

a

x+1

-2（x+1）＞1（0＜x＜1）恒成立，即a＞2（x+1）²+（x+1）（0＜x＜1）恒成立，設(shè)t=x+1，1＜t＜2，則g（t）=2t²+t=2(t+

1

4

)2-

1

8

；
易知y=g（t）在（1，2）上是單調(diào)增函數(shù)，從而可求其最大值，繼而可得a的取值范圍．

解答： 解：∵?p，q∈（0，1），不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

＞1恒成立，
f（x+1）=aln（x+1）-（x+1）²，
∴f′（x+1）=

a

x+1

-2（x+1）＞1（0＜x＜1）恒成立，
即a＞2（x+1）²+（x+1）（0＜x＜1）恒成立，
設(shè)t=x+1，1＜t＜2，
則g（t）=2t²+t=2(t+

1

4

)2-

1

8

；
∵y=g（t）的對(duì)稱軸為t=-

1

4

，
∴y=g（t）在（1，2）上是單調(diào)增函數(shù)，故有g(shù)（t）＜g（2）=8+2=10，
∴a≥10，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[10，+∞）．
故答案為：[10，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．構(gòu)造函數(shù)思想與恒成立問(wèn)題，考查綜合分析與解決問(wèn)題的能力，屬于難題．