Question

已知⊙C：x²+y²=r²（r＞0）和點(diǎn)P（a，b）．
（1）若點(diǎn)P在⊙C上，求過點(diǎn)P且與⊙C相切的直線方程；
（2）若點(diǎn)P在⊙C內(nèi)，過P作直線l交⊙C于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作⊙C的切線，當(dāng)兩條切線相交于點(diǎn)Q時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）點(diǎn)在圓上，找出圓心坐標(biāo)，求出圓心與此點(diǎn)連線的斜率，確定出切線的斜率，寫出切線方程即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），因?yàn)锳Q與圓C相切，所以AQ⊥CA，所以（x₁-x₀）（x₁-0）+
（y₁-y₀）（y₁-0）=0，因?yàn)閤₁²+y₁²=r²，所以x₀x₁+y₀y₁=r²，同理x₀x₂+y₀y₂=r²．所以過點(diǎn)A，B的直線方程為xx₀+yy₀=r²．再由直線AB過點(diǎn)P（a，b），代入即可得到Q的軌跡方程．

解答： 解：（1）點(diǎn)P（a，b）在圓x²+y²-4x=0上，
將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：a²+b²=r²，
∴圓心（0，0），半徑為：r，
∵（a，b）與（0，0）連線的斜率為

b

a

，
∴切線的斜率為-

a

b

，
則切線方程為y-b=-

a

b

（x-a），即ax+by-r²=0．
過點(diǎn)P且與⊙C相切的直線方程：ax+by-r²=0；
（2）圓C：x²+y²=r²的圓心C為（0，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
因?yàn)锳Q與圓C相切，所以AQ⊥CA．  
所以（x₁-x₀）（x₁-0）+（y₁-y₀）（y₁-0）=0，
即x₁²-x₀x₁+y₁²-y₀y₁=0，
因?yàn)閤₁²+y₁²=r²，
所以x₀x₁+y₀y₁=r²，
同理x₀x₂+y₀y₂=r²．
所以過點(diǎn)A，B的直線方程為xx₀+yy₀=r²．
因直線AB過點(diǎn)（a，b）．
所以代入得ax₀+by₀=r²，
所以點(diǎn)Q的軌跡方程為：ax+by=r²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及圓的切線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．