如圖,CD為△ABC外接圓的切線(xiàn),AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)CD于點(diǎn)D,E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn),且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四點(diǎn)共圓.

(1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑;

(2)若DB=BE=EA,求過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.


 (1)證明:因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線(xiàn),所以∠DCB=∠A,由題設(shè)知=,故△CDB∽△AEF,

所以∠DBC=∠EFA.

因?yàn)锽,E,F,C四點(diǎn)共圓,

所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.

所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑.

(2)解:連接CE,因?yàn)椤螩BE=90°,

所以過(guò)B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑為CE.

由DB=BE,有CE=DC.

又BC2=DB·BA=2DB2,

所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.

而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,

故過(guò)B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,y0).若點(diǎn)M到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為3,則|OM|等于(　　)

(A)2    (B)2  (C)4         (D)2

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若實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,則c的最大值是　　　　. 

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若函數(shù)f(x)=x+ (x>2)在x=a處取最小值,則a等于(　　)

(A)1+   (B)1+    (C)3    (D)4

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如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,EF⊥DB,垂足為F,若AB=6,AE=1,則DF·DB=　　　. 

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如圖所示,PC與圓O相切于點(diǎn)C,直線(xiàn)PO交圓O于A,B兩點(diǎn),弦CD垂直AB于E,則下面結(jié)論中,錯(cuò)誤的結(jié)論是(　　)

(A)△BEC∽△DEA

(B)∠ACE=∠ACP

(C)DE2=OE·EP

(D)PC2=PA·AB

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如圖,已知△ABC中的兩條角平分線(xiàn)AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.

(1)證明:B,D,H,E四點(diǎn)共圓;

(2)證明:CE平分∠DEF.

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設(shè)當(dāng)x=θ時(shí),函數(shù)f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則cos θ=　　　　. 

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設(shè)P為直線(xiàn)y=x與雙曲線(xiàn)-=1(a>0,b>0)左支的交點(diǎn),F1是左焦點(diǎn),PF1垂直于x軸,則雙曲線(xiàn)的離心率e=　　　　. 

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