Question

2．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}中，對任何正整數(shù)n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若數(shù)列{a_n}是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求b₁，b₂，并證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；
（3）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求證：$\frac{1}{{a}_{1}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系式得出b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1，（n≥2），
相減得出b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1，利用前n項的和S_n求解b_n=2^n-1，證明即可．
（2）bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
a_n=$\frac{2-q}$×2ⁿ$+\frac{q-1}$×n$+\frac{q-2}$，討論求解即可．
（3）求解$\frac{1}{{a}_{1}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}_{n}}$=$\frac{1}{1×1}$$+\frac{1}{2×2}$$+\frac{1}{3×{2}^{2}}$$+\frac{1}{4×{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n×{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{1×1}$$+\frac{1}{2×2}$$+\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{2×{2}^{n-1}}$求解為和的形式，放縮即可．

解答 解：（1）b₁=1，b₂=2，
依題意數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=n，
故等式即為b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，
b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1，（n≥2），
兩式相減可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1，
得b_n=2^n-1，數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．  
（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的首項為b，公比為q，則b_n=bq^n-1，
從而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
a_n=$\frac{2-q}$×2ⁿ$+\frac{q-1}$×n$+\frac{q-2}$，
要使a_n+1-a_n是與n無關(guān)的常數(shù)，必需q=2，
即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{b_n}的公比q=2時，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其通項公式是a_n=$\frac{n}$；
②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{b_n}的公比不是2時，數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．  
（3）由（2）知a_nb_n=n•2^n-1，
顯然n=1，2時$\frac{1}{{a}_{1}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$，
當(dāng)n≥3時$\frac{1}{{a}_{1}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}_{n}}$=$\frac{1}{1×1}$$+\frac{1}{2×2}$$+\frac{1}{3×{2}^{2}}$$+\frac{1}{4×{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n×{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{1×1}$$+\frac{1}{2×2}$$+\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{2×{2}^{n-1}}$=
1$+\frac{1}{2×2}$$•\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{{2}^{n}}$$＜\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，遞推關(guān)系式的運用，不等式，放縮法求解證明不等式，屬于綜合題目，難度較大，化簡較麻煩．