Question

14．已知正三棱錐S-ABC，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，若過直線AB的截面，將正三棱錐的體積分成兩個(gè)相等的部分，則截面與底面所成二面角的平面角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{15}}{10}$
• B． $\frac{4\sqrt{15}}{15}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{15}$
• D． $\frac{2\sqrt{15}}{15}$

Answer 1

分析 根據(jù)三棱錐的體積關(guān)系確定E是SC的中點(diǎn)，結(jié)合二面角平面角的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)截面為ABE，
過S作SO⊥平面ABC，過E作ED⊥平面ABC，
∵過直線AB的截面，將正三棱錐的體積分成兩個(gè)相等的部分，
∴V_E-ABC=$\frac{1}{2}$V_S-ABC，
即ED=$\frac{1}{2}$SO，
則E是SC的中點(diǎn)，
取AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF，則∠EFC是截面與底面所成二面角的平面角，
∵底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CO=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=CD=$\frac{1}{2}CO=\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
則SO=$\sqrt{S{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，DE=$\frac{1}{2}$SO=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
則EF=$\sqrt{E{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{33}}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
則cos∠EFC=$\frac{DF}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二面角的計(jì)算和求解，根據(jù)三棱錐的體積關(guān)系確定E是中點(diǎn)．根據(jù)二面角的定義作出平面角是解決本題的關(guān)鍵．