Question

函數(shù)f（x）定義域為R，且對定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又當x＞0時，有f（x）＜0，且f（1）=-

1

2

，則f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最大值與最小值之和為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：利用賦值法即可求f（0）的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：令x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
設(shè)x₁＞x₂，f（x）+f（y）=f（x+y），令x=x₂，x+y=x₁，
則 y=x₁-x₂＞0，
∴f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x）在R上是減函數(shù)
∵f（x）+f（y）=f（x+y），f（1）=-

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∴f（2）=2f（1）=-1，f（4）=2f（2）=-2，f（6）=f（2+4）=f（2）+f（4）=-1-2=-3，
∵f（0）=f（2）+f（-2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=1，
又∵f（x）在[-2，6]上是減函數(shù)，
∴最大值為f（-2）=1，最小值為f（6）=-3，
則1-3=-2．
故答案為：-2

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應用，根據(jù)定義法和賦值法是解決抽象函數(shù)問題的基本方法．