Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AC⊥BB₁，AB=A₁B=AC=1，BB₁=

2

．
（Ⅰ）求證：A₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）若P是棱B₁C₁的中點(diǎn)，求二面角P-AB-A₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥平面ABB₁A₁，從而AC⊥A₁B，由勾股定理得A₁B⊥AB，從而能證明A₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，以BC，BA，BB₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-AB-A₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AC⊥BB₁，
又AB∩BB₁=B，∴AC⊥平面ABB₁A₁，
又A₁B?平面ABB₁A₁，∴AC⊥A₁B，
∵AB=A₁B=AC=1，BB₁=

2

，
∴AB2+A1B2=AA12，∴A₁B⊥AB，
又AC∩AB=A，∴A₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：以B為原點(diǎn)，以BC，BA，BB₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=A₁B=AC=1，BB₁=

2

，
∴B₁（1，0，1），C₁（

2

+1，0，1），
P（

2

2

+1，0，1），A（0，1，0），B（0，0，0），
A₁（0，0，1），

BA

=（0，1，0），

BP

=（

2

2

+1，0，1），
設(shè)平面ABP的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BP =( 2 2 +1)x+z=0 n • BA =y=0

，取x=1，得z=-1-

2

2

，
∴

n

=（1，0，-1-

2

2

），又平面ABA₁的法向量

m

=（1，0，0），
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

1

1+(-1- 2 2 )2

=

34

17

．
∴二面角P-AB-A₁的余弦值為

34

17

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．