Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜π，0＜β＜π．
（1）求證：

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直；
（2）若k

a

+

b

與

a

-k

b

的長(zhǎng)度相等，求證：tanα•tanβ=-1（k為非零常數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先計(jì)算

a

+

b

與

a

-

b

的積，如果等于0，則互相垂直；
（2）利用長(zhǎng)度相等即模相等，得到關(guān)于k，α，β的等量關(guān)系，求出α，β的關(guān)系，得到它們的正切值關(guān)系即可．

解答： 證明：（1）

a

+

b

）（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=cos²α+sin²α-cos²β-sin²β=1-1=0，
所以

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直；
（2）因?yàn)閗

a

+

b

與

a

-k

b

的長(zhǎng)度相等，所以|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|，
所以（kcosα+cosβ）²+（ksinα+sinβ）²=（cosα-kcosβ）²+（sinα-ksinβ）²，
整理得，4kcos（α-β）=0，k為非零常數(shù)，
所以α-β=kπ+

π

2

，
α=β+kπ+

π

2

，
tanα•tanβ=tan（β+kπ+

π

2

）•tanβ=-cotβtanβ=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的運(yùn)算以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的運(yùn)用，屬于中檔題．