Question

5．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a、b、c，sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，b=3，當(dāng)內(nèi)角C最大時，△ABC的面積等于（　�。�

• A． $\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{3\sqrt{2\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 利用正弦定理，余弦定理可求cosC最小值，從而可求C的最大值，可求sinA的值，由余弦定理可求c，從而由三角形面積公式即可得解．

解答 解：∵sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，b=3，
由正弦定理可得：a+3$\sqrt{2}$=2c，得c=$\frac{1}{2}$（a+$\sqrt{2}$b），
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-\frac{1}{4}（a+\sqrt{2}b）^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}^{2}}{2ab}-\frac{\sqrt{2}}{4}$≥$\frac{2•\frac{\sqrt{3}}{2}a•\frac{\sqrt{2}}{2}b}{2ab}-\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{2}b$時，取等號，
故0＜$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$≤cosC＜1，故cosC的最小值是$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
∴可得C的最大值是：$\frac{5π}{12}$，且sinC=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}×3×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．