Question

14．已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y²=6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；
（2）若|AB|=9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．

Answer 1

分析 （1）由y²=6x，得準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)F（1，0）．直線l的方程為y-0=tan60°（x-1.5），與拋物線方程聯(lián)立，消y，整理得4x²-20x+9=0，其兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=5，由拋物線的定義可知線段AB的長(zhǎng)；
（2）|AB|=p+x₁+x₂=9，即可求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．

解答 解：（1）由y²=6x，準(zhǔn)線方程為x=-1.5，焦點(diǎn)F（1.5，0）．
直線l的方程為y-0=tan60°（x-1.5），即y=$\sqrt{3}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
與拋物線方程聯(lián)立，消y，整理得4x²-20x+9=0，其兩根為x₁，x₂，且x₁+x₂=5．
由拋物線的定義可知，|AB|=p+x₁+x₂=8．
所以，線段AB的長(zhǎng)是8．
（2）|AB|=p+x₁+x₂=9，則$\frac{|AB|}{2}$=4.5
∴線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為4.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，屬于中檔題．