Question

3．已知a，b，c均為正實數(shù)，且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$=1．
（1）證明：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≤$\sqrt{3}$；
（2）求證：$\frac{{a}^{2}}{^{4}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{4}}$+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{4}}$≥1．

Answer 1

分析 （1）運用均值不等式，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ca}$，再由兩邊平方即可得到證明；
（2）由均值不等式可得$\frac{{a}^{2}}{^{4}}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥$\frac{2}{^{2}}$，$\frac{^{2}}{{c}^{4}}$+$\frac{1}{^{2}}$≥$\frac{2}{{c}^{2}}$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{4}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{2}{{a}^{2}}$，相加即可得證．

解答 證明：（1）由a，b，c均為正實數(shù)，且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$=1，
可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$≥$\frac{2}{ab}$，$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{2}{bc}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{2}{ac}$，
相加可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ca}$，
即有（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）²=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$+2（$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ca}$）
≤3（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）=3，當且僅當a=b=c=$\sqrt{3}$取得等號；
（2）由a，b，c均為正實數(shù)，且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$=1，
可得$\frac{{a}^{2}}{^{4}}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{^{4}}•\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\frac{2}{^{2}}$，
$\frac{^{2}}{{c}^{4}}$+$\frac{1}{^{2}}$≥$\frac{2}{{c}^{2}}$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{4}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{2}{{a}^{2}}$，
相加可得$\frac{{a}^{2}}{^{4}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{4}}$+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{4}}$≥$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$=1，
即有原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用均值不等式，考查推理能力和運算能力，屬于中檔題．