Question

9．已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{π}{8}$，且2a₂，$\frac{3}{2}$a₃，a₄成等差數(shù)列．
（I） 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=sina_n，c_n=cosa_n，T_n，P_n分別為數(shù)列{b_n}，{c_n}的前n項和，比較T_n和P_n的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q（q≠1），根據(jù)等差中項的性質(zhì)列出方程化簡后求出q，由等比數(shù)列的通項公式求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和條件化簡得b_n、c_n，對n進(jìn)行依次取值，由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，分別比較T_n和P_n的大小，由等比數(shù)列的特點歸納出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q（q≠1），
∵a₁=$\frac{π}{8}$，且2a₂，$\frac{3}{2}$a₃，a₄成等差數(shù)列，
∴2•$\frac{3}{2}$a₃=2a₂+a₄，則$3{a}_{1}{q}^{2}=2{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}$，
化簡得q²-3q+2=0，解得q=2或q=1（舍去），
∴a_n=a₁•q^n-1=$\frac{π}{8}•{2}^{n-1}$=π•2^n-4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=sin$\frac{{2}^{n-1}•π}{8}$，c_n=cos$\frac{{2}^{n-1}•π}{8}$，
當(dāng)n=1時，T₁=$sin\frac{π}{8}$，P₁=$cos\frac{π}{8}$，則T₁＜P₁；
當(dāng)n=2時，T₂=$sin\frac{π}{8}$+$sin\frac{π}{4}$=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，P₂=$cos\frac{π}{8}$+$cos\frac{π}{4}$=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，則T₂＜P₂；
當(dāng)n=3時，T₃=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$sin\frac{π}{2}$=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
P₃=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$cos\frac{π}{2}$=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，則T₃＞P₃；
當(dāng)n=4時，T₄=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$sin\frac{π}{2}$+sinπ=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
P₄=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$cos\frac{π}{2}$+cosπ=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，則T₄＞P₄；
當(dāng)n=5時，T₅=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$sin\frac{π}{2}$+sinπ+sin2π=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
P₅=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$cos\frac{π}{2}$+cosπ+cos2π=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$-1+1=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，則T₅＞P₅；
當(dāng)n=6時，T₆=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$sin\frac{π}{2}$+sinπ+sin2π+sin4π=$sin\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
P₆=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$cos\frac{π}{2}$+cosπ+cos2π+cos4π=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$-1+1+1=$cos\frac{π}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，則T₆＜P₆；
…
綜上可得，當(dāng)n=3、4、5時，有T_n＞P_n；當(dāng)n=1、2或n≥6時，有T_n＜P_n．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，等差中項的性質(zhì)，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及歸納法求數(shù)列的和，屬于中檔題．