Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條準線與兩條漸近線交于A、B兩點，相應的焦點為F，若以AB為直徑的圓恰好過F點，則離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出右準線交兩漸近線于A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

），再根據以AB為直徑的圓過右焦點F，得到焦點到右準線的距離等于AB的一半，建立關于a、b、c的等式，化簡整理可得a=b，最后根據離心率的計算公式，可求出該雙曲線的離心率．

解答： 解：雙曲線的兩漸近線為y=±

b

a

x，
因此，可得右準線x=

a2

c

交兩漸近線于A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

），
設右準線x=

a2

c

交x軸于點G（

a2

c

，0），
∵以AB為直徑的圓過F，
∴AB=2GF，即2

ab

c

=2（c-

a2

c

），化簡得a=b，
∴雙曲線的離心率為e=

c

a

=

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題給出雙曲線的右準線與兩漸近線交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過右焦點F，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本概念與簡單幾何性質，屬于基礎題．