Question

17．某校同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案”．其中AC，BD是過拋物線y=x²的兩條相互垂直的弦（點(diǎn)A，B在第二象限），且AC，BD交于點(diǎn)$F（{0，\frac{1}{4}}）$，點(diǎn)E為y軸上的一點(diǎn)，記∠EFA=α，其中α為銳角：
（1）設(shè)線段AF的長(zhǎng)為m，將m表示為關(guān)于α的函數(shù)；
（2）求“蝴蝶形圖案”面積的最小值，并指出取最小值時(shí)α的大�。�

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A（-msinα，mcosα+$\frac{1}{4}$），代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可將m表示為關(guān)于α的函數(shù)；
（2）由題意結(jié)合圖形，把A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)分別用|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入拋物線方程后最終求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，對(duì)三角形面積化簡(jiǎn)整理，換元后利用配方法求面積的最小值．

解答 解：（1）點(diǎn)A（-msinα，mcosα+$\frac{1}{4}$），
∴mcosα+$\frac{1}{4}$=（-msinα）²，即m²sin²α-mcosα-$\frac{1}{4}$=0．
∵m＞0，∴m=|AF|=$\frac{cosα+1}{2si{n}^{2}α}$；
（2）同理：|BF|=$\frac{1-sinα}{co{s}^{2}α}$，|DF|=$\frac{1-cosα}{2si{n}^{2}α}$，|CF|=$\frac{1+sinα}{2co{s}^{2}α}$．
“蝴蝶形圖案”的面積S=S_△AFB+S_△CFD=$\frac{1-sinαcosα}{4（sinαcosα）^{2}}$，
令t=sinαcosα，t∈（0，$\frac{1}{2}$]，
S=$\frac{1-t}{4{t}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{1}{t}$），$\frac{1}{t}≥2$，∴$\frac{1}{t}$=2，S_min=$\frac{1}{2}$，此時(shí)$α=\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)直線與拋物線的關(guān)系、三角函數(shù)化簡(jiǎn)、換元法、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．