Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a-2lnx}{x^2}$在點（1，f（1））處的切線與直線y=-4x+1平行．
（1）求實數(shù)a的值及f（x）的極值；
（2）若對任意x₁，x₂$∈（0，\frac{1}{e}]$，有$|\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{x_1^2-x_2^2}|＞\frac{k}{x_1^2•x_2^2}$，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導，由f'（1）=-4，即可求得a的值，令f'（x）=0，求得可能的極值點，由f′（x）＞0及f′（x）＜0，分別求得單調遞增和單調遞減區(qū)間，根據(jù)極小值的定義，即可求得在x=1時取極小值，即可求得極小值；
（2）由題意可知將不等式轉化成，得$|\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}}}|＞k$，構造輔助函數(shù)，$g（\frac{1}{x^2}）=f（x）$，求得g（x）的解析式，求導，根據(jù)函數(shù)的單調性求得g'（x）的最小值，即可求得k的取值范圍．

解答 解（1）由題意得$f'（x）=\frac{-2-2a+4lnx}{x^3}$，（x＞0），
點（1，f（1））處的切線與直線y=-4x+1平行．
又f'（1）=-4，即$\frac{-2-2a}{1}$=-4，解得a=1．
令$f'（x）=\frac{-2-2a+4lnx}{x^3}=\frac{-4+4lnx}{x^3}=0$，
解得：x=e，
當f′（x）＞0，解得：x＞e，
函數(shù)f（x）在（e，+∞）上單調遞增，
當f′（x）＜0，解得：0＜x＜e，
函數(shù)f（x）在（0，e）上單調遞減，
∴f（x）在x=e時取極小值，極小值為$f（e）=-\frac{1}{e^2}$．（6分）
（2）由$|\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{x_1^2-x_2^2}|＞\frac{k}{x_1^2•x_2^2}$，可得$|\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}}}|＞k$，
令$g（\frac{1}{x^2}）=f（x）$，則g（x）=x+xlnx，其中，x∈[e²，+∞）g'（x）=2+lnx，
又x∈[e²，+∞），則g'（x）=2+lnx≥4，
即$|\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}}}|＞4$，
∴實數(shù)k的取值范圍是（-∞，4]．（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力，具體涉及到用導數(shù)來描述原函數(shù)的單調性、極值，導數(shù)的幾何意義，考查邏輯推理與運算求解能力，屬于中檔題．