Question

17．求經(jīng)過點M（1，2），且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1有相同離心率的橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 設出橢圓方程，代入點的坐標，即可得出橢圓方程．

解答 解：由題意，當焦點在x軸上時，設所求橢圓的方程為橢圓$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=t（t＞0），
∵橢圓過點M（1，2），∴t=$\frac{1}{12}+\frac{4}{6}$=$\frac{3}{4}$，∴橢圓標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{9}}$=1，
當焦點在y軸上時，設方程為$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{6}$=m（m＞0），
∵橢圓過點M（1，2），∴m=$\frac{4}{12}+\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$，∴橢圓標準方程為$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1
故所求橢圓標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{9}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．