Question

4．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（a-1）x+1在區(qū)間（2，3）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（5，+∞）為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [3，4]
• B． [5，7]
• C． [4，6]
• D． [7，8]

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)1，a-1，然后分1與a-1的大小分析導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，最后借助于已知條件得到a-1與3和5的關(guān)系，則答案可求．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（a-1）x+1得f′（x）=x²-ax+a-1，
令f′（x）=0，解得x=1或x=a-1．
當(dāng)a-1≤1，即a≤2時(shí)，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，不合題意；
當(dāng)a-1＞1，即a＞2時(shí)，f′（x）在（-∞，1）上大于0，函數(shù)f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，
f′（x）在（1，a-1）內(nèi)小于0，函數(shù)f（x）在（1，a-1）內(nèi)為減函數(shù)，f′（x）在（a-1，+∞）內(nèi)大于0，
函數(shù)f（x）在（a-1，+∞）上為增函數(shù)．
依題意應(yīng)有：
當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（5，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴3≤a-1≤5，解得4≤a≤6．
∴a的取值范圍是[4，6]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，采用了逆向思維方法，解答的關(guān)鍵是對(duì)端點(diǎn)值的取舍，是中檔題．