Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面是邊長為2的正方形，高為1，點E在B₁B上，且滿足B₁E=2EB．
（1）求證：D₁E⊥A₁C₁；
（2）在棱B₁C₁上確定一點F，使A、E、F、D₁四點共面，并求此時B₁F的長；
（3）求幾何體ABED₁D的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)B₁D₁．由已知得A₁C₁⊥B₁D₁，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，從而DD₁⊥A₁C₁．進而A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，由此能證明D₁E⊥A₁C₁．
（Ⅱ）連結(jié)BC₁，過E作EF∥BC₁交B₁C₁于點F．由AD₁∥BC₁，得AD₁∥EF．點F為滿足條件的點．由此能求出此時B₁F的長．
（Ⅲ）四邊形BED₁D為直角梯形，幾何體ABED₁D為四棱錐A-BED₁D．由此能求出幾何體ABED₁D的體積．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）證明：連結(jié)B₁D₁．因為四邊形A₁B₁C₁D₁為正方形，
所以A₁C₁⊥B₁D₁．
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥A₁C₁．
因為DD₁∩B₁D₁=D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，B₁D₁?平面BB₁D₁D，
所以A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
又D₁E?平面BB₁D₁D，所以D₁E⊥A₁C₁．…（4分）
（Ⅱ）解：連結(jié)BC₁，過E作EF∥BC₁交B₁C₁于點F．
因為AD₁∥BC₁，所以AD₁∥EF．
所以A、E、F、D₁四點共面．即點F為滿足條件的點．
又因為B₁E=2EB，所以B₁F=2FC₁，
所以B1F=

2

3

B1C1=

4

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：四邊形BED₁D為直角梯形，
幾何體ABED₁D為四棱錐A-BED₁D．
因為SBED1D=

(BE+DD1)•BD

2

=

4 2

3

，
點A到平面BED₁D的距離h=

1

2

AC=

2

，
所以幾何體ABED₁D的體積為：
VA-BED1D=

1

3

SBED1Dh=

8

9

．…（13分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查線段長的求法，考查幾何體的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．