Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（3+x）-log_a（3-x）（a＞1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）當(dāng)x∈[

1

3

，

1

2

]時(shí)，f（x）最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得

3+x＞0 3-x＜0

，能求出函數(shù)f（x）的定義域．
（2）由（1）知f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，f（-x）=loga

3-x

3+x

=-loga

3+x

3-x

=-f（x），從而證明f（x）是奇函數(shù)．
（3）當(dāng)x∈[

1

3

，

1

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，由此能求出a．

解答： 解：（1）由題意得

3+x＞0 3-x＜0

，解得-3＜x＜3，
∴函數(shù)f（x）的定義域是{x|-3＜x＜3}．
（2）由（1）知f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（x）=loga

3+x

3-x

，
∴f（-x）=loga

3-x

3+x

=-loga

3+x

3-x

=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）當(dāng)x∈[

1

3

，

1

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f(x)max=f(

1

2

)=loga

7

5

=1，
解得a=

7

5

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的定義域的求法，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要注意對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．